MATEMÁTICAS 10,1; 10,2

GRADOS: 10, 1,2.     CLASE CORRESPONDIENTE A LA GUÍA # 4. 

Martes 30 de junio de 2020

TEMA: Funciones trigonométricas de la circunferencia unitaria y el triángulo rectángulo

REFERENTE (Estándar, propósito o DBA):

·       Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones

               trigonométricas.

·         Determina las razones trigonométricas a partir de la circunferencia unitaria y el triángulo rectángulo

·         Resuelve problemas de aplicación con las funciones trigonométricas

·         Plantea y resuelve problemas con las funciones trigonométricas

 En la guía anterior se te dejó consulta sobre la circunferencia unitaria y las razones trigonométricas a partir de ésta. Iniciaremos este tema retomando las razones trigonométricas a partir de la circunferencia unitaria.

 La circunferencia unitaria: es el conjunto de puntos del plano que están a la misma distancia (llamada radio) de un punto fijo (llamado centro) y tiene la particularidad que su centro está en el origen de coordenadas (0,0) y su radio es una unidad (r=1).Es aquella cuyo centro está en el origen y su radio es igual 1.

Ejemplos

 

Puntos en la circunferencia unitaria. Recuperado junio 25 de 2020 en

El signo de las funciones trigonométricas depende del cuadrante en el que se  ubique el punto que

 determine el ángulo θ.

Veamos en el vídeo las funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria. 

 Razones trigonométricas.

 

 

Mira el vídeo de los signos de las funciones trigonométricas. 

 

 

 

 

 

Sigue el siguiente vídeo para ampliar los conocimientos sobre el triángulo rectángulo. 

 

 

 

 ·         Se despeja la incógnita y se redacta la respuesta

 Veamos en los siguientes  vídeo cómo resolver problemas aplicando funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo. 

Vídeo 1 

Vídeo 2 

 

 

Vídeo 3

 

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Lunes 8 de junio de 2020

Profesor. Éver Chalarca Bedoya

TEMA(S):        

1. Función circular y sus aplicaciones

2. Razones trigonométricas en la circunferencia unitaria.

REFERENTE (Estándar, propósito o DBA):    

1. Resuelve problemas de aplicación sobre ángulos, longitud de un arco, área de un sector 

    circular y de un círculo.

2. Identifica las razones trigonométricas a partir de la circunferencia unitaria.

En clase anterior se habló acerca de los ángulos, del concepto de radian y sistemas de conversión de ángulos. Así mismo, sobre la forma de medir y dibujar ángulos.

 

En la presente guía daremos continuidad, pero ahora hablaremos de:

1.     Aplicaciones de la función circular: longitud de un arco y movimiento circular

2.     Razones trigonométricas en la circunferencia unitaria.

TEMA: FUNCIÓN CIRCULAR. APLICACIONES.

 A través de estos links podrás ampliar los conceptos de velocidad lineal y velocidad angular.

 Longitud de arco y sector circular:

 Se construye a partir de una circunferencia de centro C(0,0) y de radio = 1

Veamos vídeos ilustrativos y complementarios.

         Velocidad lineal y angular:

         Velocidad angular:

Ejemplo 2:

Determinar la longitud del arco que describe el Santuario de las Lajas, ubicado en 

Ipiales-Nariño, debido al movimiento de rotación de la Tierra, pasadas 8 de las 24 

horas del día.

 Solución.

 Se tiene que tener en cuenta que el radio de la Tierra es de 6.371 km. Cómo se pide la 

  longitud de arco,  se debe inicialmente determinar el ángulo en radianes que describe 

  el Santuario desde su posición  inicial hasta su posición final transcurridas las 8 

  horas. En ese lapso la tierra realiza 8/24 de vuelta, es decir, 1/3 de vuelta.

 Datos: radio de la Tierra = 6.371 km = r

Movimiento circular

   Veamos este vídeo de movimiento circular.

       

Existen varias situaciones en las que se puede observar varios movimientos circulares, como por  ejemplo el desplazamiento de una rueda, en la trayectoria que describen los engranajes de algunas máquinas o en la rueda de un parque de diversiones. En general el movimiento circular se puede interpretar como el desplazamiento de un punto R a lo largo de una circunferencia C en un tiempo t

 En un movimiento circular hay dos tipos de velocidades: la velocidad angular y la velocidad lineal.

 Velocidad angular

 Si un objeto que gira con rapidez constante, parte de un punto R₁ en un tiempo t = 0, hasta un punto R₂  en un tiempo t, entonces describe un ángulo .  Luego la velocidad angular (ω) del objeto, está dada por la expresión ω = /t, donde  se mide en radianes.

 El número de vueltas que realiza el objeto en una determinada unidad de tiempo se denomina frecuencia. Así, el ángulo se determina por el número de vueltas y el tiempo se mide en minutos, la frecuencia se mide en revoluciones por minuto (rpm)

 Velocidad lineal

 La velocidad lineal (v) de un punto sobre una circunferencia se define de dos maneras: como el producto entre  la velocidad angular ω y el radio r de la circunferencia, o como el cociente entre la longitud de arco s y el período de tiempo t que tarda el movimiento.

 Por tanto se cumplen las siguientes igualdades :

V = ωr     y   v = s/t

Ejemplo velocidad angular:

 1. En un parque de diversiones, una rueda mecánica gira con una frecuencia de 12 rpm. ¿Cuál es la velocidad angular que experimenta cada persona en esta rueda?

 Datos.

Revoluciones por minuto (rpm) = 12 vueltas.

1 vuelta o revolución = 2  rad

 Para obtener el ángulo de rotación  se multiplica el número de revoluciones por 2  rad

   = 12 X 2  rad     =   24  rad

 Ahora, para hallar la velocidad angular Por último se divide el ángulo de rotación entre el tiempo t = 1 min, para hallar la velocidad angular (ω)

 

Ejemplo velocidad lineal:

 2. Una estación espacial orbita circularmente a un promedio de 5.420 km de altura sobre la superficie terrestre  y tarda 8 horas en dar una vuelta completa a la Tierra. ¿Cuál es su velocidad lineal?

 Datos a tener en cuenta:

 Radio de la Tierra = 6.371 km

 Altura de la estación espacial = 5.420 km

 Radio total = r = 5.420 km + 6.371 km = 11.791 km

 Luego calculamos la velocidad angular.

Por último se calcula la velocidad lineal de la estación espacial.

 V = ωr

V = ( π/4  rad/h)(11.791 km)

V = 9.260 km/h

Ahora continuaremos con el tema de razones trigonométricas en la circunferencia  

unitaria.

 

TEMA: Razones trigonométricas en la circunferencia unitaria.

    CONSULTA:

 Realiza la consulta y envíala al correo electrónico de contacto o también puedes entregarla en físico en la institución (sede C.)

Condiciones:

Hoja en blanco al principio y al final

Portada según indicaciones (La encuentras al final de la guía)

Cuerpo del trabajo (consulta)

Bibliografía o Cibergrafía

                                                 

Consultar:

¿Qué es la circunferencia unitaria?. Graficarla.

Definir las funciones trigonométricas a partir de la circunferencia unitaria

 

  TALLER

  (Resuelva el taller en físico y entrégalo por intermedio de tu acudiente o una persona mayor en  la secretaría del colegio). 

El taller debe estar organizado y bien presentado.

 PUNTOS A DESARROLLAR:

1. Mida un ángulo de:

    a.    520° (Indique la dirección del ángulo)

    b.   – ¾ π

    c.   11/2 revoluciones

    d.   -300°

2. Calcule la velocidad angular de un objeto con movimiento circular que genera          un ángulo  de 7/4 π en una hora y media.

3. Halle la velocidad lineal de un cuerpo que recorre una circunferencia de 3 m de 

    radio a razón de 5 vueltas por segundo.

4. Calcule la longitud de arco de una circunferencia de 70 cm de radio, subtendido 

    por un ángulo de 270°.

5. Completa el siguiente cuadro y  dibuja el ángulo en posición normal

6.  Encuentra la longitud de un arco que subtiende un ángulo central de 65° en un 

     círculo de radio 15 cm.

7.  Las ruedas de un automóvil miden 28 pulgadas de diámetro. ¿Qué tan lejos 

     viajará el automóvil (en kilómetros) si sus ruedas giran 10.000 veces sin 

     deslizamiento?

8.  Las ruedas de una motocicleta tienen un diámetro de 70 cm y giran 800 rpm. 

Determine la velocidad  de la motocicleta en kilómetros.

 9. Si un arco circular de longitud s subtiende el ángulo central θ en un círculo,                halle el radio del círculo 

              de acuerdo con los siguientes datos

              a.  S = 15 cm;       θ = 15°

              b.  S = 10 m;   θ = ¾ π 

10.  Halle la velocidad lineal de un cuerpo que recorre una circunferencia de 8 m de radio a 

        razón de 10 vueltas por segundo

       

 CIBERGRAFÍA:

 Tomado del canal de YouTube.

 -       Velocidad lineal y angular: https://youtu.be/XoLF1VNJwxQ

-       Velocidad angular: https://youtu.be/GXIQ1qnoNUs

-       Movimiento circular: https://youtu.be/u8j2J7sxyys

-       Longitud de arco y sector circular: https://youtu.be/VJ2C0Zzw53o

         BIBLIOGRAFÍA

 -       Los caminos del saber. Matemáticas 10. Buitrago García Lida et al. Ed. Santillana, Bogotá. 2013.

 -       Guía de matemáticas: conceptos básicos de trigonometría. Cardeño Espinosa, Jorge. CEID  ADIDA. Medellín. 

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FECHA: Lunes 11 de mayo de 2020

PROFESOR: Éver Chalarca Bedoya


ÁREA: Matemáticas.      GRADO: 10,1,2

TEMA: Funciones trigonométricas. Sistemas de conversión.

TIEMPO PROBABLE: 5 horas.

COMPETENCIAS:

1.    Construir y clasificar los diferentes tipos de ángulos, expresando su medida en grados o en radianes.

2.    Resolver problemas de aplicación sobre ángulos, longitud de un arco, área de un sector circular y de un círculo.

3.    Dibujar la circunferencia unitaria, el ángulo o arco correspondiente y determinar el punto trigonométrico asociado a éste.

4.    Convierte ángulos dados en grados a radianes y viceversa.

En esta clase veremos el Sistemas de conversión y cómo es costumbre las dos últimas semanas son dedicadas a refuerzo y recuperación, siendo consecuentes, la presente actividad es un repaso o refuerzo de los temas vistos durante el período. Aquí encontrarás algunos tips de recorderis que te ayudarán a recordar lo visto.

Además vídeos  links de enlace para ver vídeos explicativos del tema.

Además del refuerzo de los contenidos, es una estrategia de recuperación para los estudiantes que en su momento no lograron los objetivos durante el período.

Es importante que sepas que en el cuaderno debes de registrar lo siguiente:

ACTIVIDADES DE REFUERZO Y RECUPERACIÓN DEL PERÍODO.

COMPETENCIAS: ...

1. Tu autoevaluación del período

Recordemos que los triángulos se clasifican según sus lados y según sus ángulos.

Según sus ángulos se clasifican:

a. Triángulos acutángulo si todos sus ángulos miden menos de 90°

b. Triángulos rectángulos cuando uno de sus ángulos mide 90°

c. Triángulos obtusángulos u oblicuángulos cuando uno de sus ángulos mide más de 90°.

En la clase anterior se habló del triángulo rectángulo y del teorema de Pitágoras como introducción a la trigonometría.

Continuaremos ahora hablando más propiamente de los ángulos y su clasificación.

ÁNGULO:

Un ángulo se forma por la rotación de una semirrecta alrededor de su origen. La posición inicial de la semirrecta se llama Lado Inicial (𝐴 ) del ángulo y la posición final de la semirrecta se llama Lado Final (𝐴𝐶 ). El punto de rotación es el Vértice (𝐴) del ángulo. Se puede leer ∢ 𝐵𝐴𝐶 o ∢ 𝐶𝐴𝐵.

Es importante que sepas que los ángulos en trigonometría se nombran con las letras del alfabeto griego.

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA

Recordar que la medida del ángulo beta por ejemplo se representa como:

𝑚∡𝐴𝐵𝐶 = 𝑚∡𝛽 = ∡𝛽 = 𝛽

       

Tomado de: Guía de matemáticas. Conceptos básicos de trigonometría. Autor: Jorge Cardeño Espinosa.

Al hablar de medición de ángulos, tenemos que decir que éstos se miden en:

a. Radianes (Sistema cíclico)

b. Grados sexagesimales (sistema sexagesimal

c. Revoluciones o vueltas.

RADIAN

Un radian es la medida de un ángulo central que intercepta un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

Al sistema de medición de ángulos en radianes se le conoce como sistema cíclico.

En toda circunferencia hay aproximadamente 2  radianes, es decir, 6.28 radianes. ¿Por qué?

𝐿𝑐 = Longitud de la circunferencia

𝑟 = Radio

𝐷 = Diámetro

𝐷 = 2𝑟

𝐿𝑐/D = constante =  = 3,1416 aprox.

𝐷 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝜋 = 3,1416 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒.

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA

La longitud de la circunferencia entonces es dos veces el radio por pi

𝐿𝑐/D = 𝜋 ∴ Lc = D . r   

Lc = 2r . 𝜋

Como ya se dijo, otra forma de medir ángulos es en grados sexagesimales, o simplemente grados (sistema sexagesimal); otra forma es de revoluciones o vueltas, poco usada en la actualidad.

Veamos las equivalencias de medidas de ángulos en los tres sistemas mencionados:

1 vuelta = 360° = 2 𝜋 rad

  ½ vuelta = 180° =  𝜋 rad

  ¼  vuelta = 90°  = ½ 𝜋 rad

  1/8 vuelta = 45° = ¼ 𝜋 rad

Veamos los siguientes vídeos de apoyo a lo explicado:

CONVERSIÓN DE ÁNGULOS DE UN SISTEMA A OTRO

Para convertir de un sistema de medición a otro se puede trabajar con la regla de tres simple, así:

A. Para convertir de grados a radianes:

Convertir 180° a radianes:

1.  180° _______  𝜋 rad

     90°  ________   x

      X = 90° .  𝜋 rad/180°   se cancela grados  y se divide 90  𝜋 rad entre 180

      X = ½ 𝜋 rad

2.  Convertir 60° a radianes:

      180° _______  𝜋 rad

        60°  ________   x

        X = 60° .  𝜋 rad/180°   se cancela grados  y se divide 60  𝜋 rad entre 180

      X = 1/3 𝜋 rad

A. Para convertir de radianes a grados:

1.  Convertir 1/3 𝜋 rad a grados:

      𝜋 rad _________ 180°

     1/3 𝜋 rad _______ X

X = 1/3 𝜋 rad . 180°/  𝜋 rad   se cancelan 1/3 𝜋 rad y se multiplica 1/3 por 180°

    X = 60°

Ahora de dejo el link para que repases cómo hacer conversiones de ángulos de un sistema a otro.

Veamos el siguiente vídeo.

PUNTO TRIGONOMÉTRICO: Es cualquier punto que pertenece a la circunferencia x^{2 +} y² = 1

ÁNGULO DE REFERENCIA: En todo ángulo θ en posición normal, el ángulo de referencia de θ, que se denota θ_R, es el ángulo positivo, menor de 90° , formado por el lado final de θ y el eje x.

Veamos cuál es el ángulo de referencia, según el cuadrante donde se ubique el ángulo.

Ahora veamos el vídeo de apoyo:

ACTIVIDAD DE CLASE.

1.    Define los conceptos de:

a.    Radián

b.    Ángulo

c.    Ángulo de referencia

        2.  Expresar en radianes:

a.    200 °

b.    100°

c.    30°

d.    270°

e.    300°

        3. Expresar en grados:

a.    3 𝜋 radianes

b.    𝜋  rad/8

c.    𝜋  rad/ 3

d.    2 𝜋 rad /3

e.    𝜋 rad / 4

        4. Utiliza compás o graduador para construir ángulos de:

a.       70°

b.       135°

c.       400°

d.    2 𝜋 rad/5

e.    𝜋 rad/ 5

ACTIVIDADES DE RECUPERACIÓN

Esta segunda parte del documento son actividades de recuperación sólo para aquellos estudiantes que no alcanzaron los logros correspondientes.

TEMA. Actividades de refuerzo y recuperación período 1.

TIEMPO PROBABLE: 5 horas.

COMPETENCIAS:

1.  Identifica las propiedades de los números reales

2. Resuelve operaciones y problemas propuestos en los números reales.

1.    Enuncia las propiedades de los números reales, vistos en clase y resuelve 2 ejemplos por cada propiedad.

2.    Calcular los 3/8 de 32000

3.    Las 3/5 partes de los empleados de una empresa que tiene 60 empleados están entre los 20 y 25 años. ¿Cuántos empleados tienen otras edades?

4.    Halle el valor absoluto

a.    l – 4 l =

b.    l 12 l  + l – 25 l =

c.    l -10 l + l – 35 l  - l – 18 l

5.  Resuelva las potencias aplicando las propiedades:

a.    2²   +    2²   +     2²   +    2²  =

b.    3²  x    3²    x     3²   x     3²  =

c.    ( 7 x 4 )²  =

d.    ( 2² x 3² )³ =

e.    ( 4² )⁰ =

f.     Z¹² / z⁹ =

g.    X⁴ / x⁹ =

      6.  Resuelva las raíces:

a. ∛64 =

b. √(∛(√(a^24 )) )  = 

c.    ∛(64 x 8) 
7. Determine los siguientes logaritmos:

a.    Log₂ 8 =

b.    Log₄ 1024 =

c.    Log₁₀ 10000 =

d.    Log_2/5 16/625 = 

        8.  Convierta a decimal

a.    8/10

b.    145/100

c.    12/124

        9.  Plantee 6 sumas y restas con números decimales

      10. Plantee y resuelva y multiplicaciones y divisiones con números decimales.

 Nota:

1.  Las  actividades que se te proponen debes resolverlas en hojas de block o en hojas de cuaderno grande, le haces portada y entregas en secretaría del colegio (a través de tu acudiente o un adulto de tu confianza) el día 22 de mayo de 2020.

También tienes la posibilidad de desarrollarlas en documento de word o de escanea si la haces en hojas y enviarlas al correo mihijoevans14@gmail.com o también de subirlas a la plataforma de Edmodo. Al escanear debes hacerlo en un sólo documento.

2. Recuerda que las asesorías o clases virtuales son en las fechas que ya se te indicaron previamente: martes de 10:00 a 11:00 am; miércoles de 10:00 12:00 m y viernes de 10:00 a 12:00 m.

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FECHA: Martes 28 de abril del 2020

AREA: MATEMÁTICAS.                   PROFESOR: Éver Chalarca Bedoya

TEMA: Ángulos y triángulos

            El triángulo rectángulo y Pitágoras.

TIEMPO PROBABLE: 3 horas.

COMPETENCIAS: 

1.    Identifica los distintos tipos de triángulos y aplica sus propiedades

2.    Reconoce el Teorema de Pitágoras y sus aplicaciones

3.    Formula y resuelve problemas aplicando el Teorema de Pitágoras.

En esta clase nos adentraremos un poco hacia la trigonometría y empezaremos haciendo un repaso de los triángulos, pero antes se verán algunos vídeos.

Después de ver los vídeos repasemos un poco.

Propiedades de los triángulos:

Clasificación de los triángulos:

DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS.

¿Qué es un triángulo?

Un triángulo es un polígono de tres lados, y por lo tanto tres vértices. También pueden definirse como figuras planas delimitadas por tres rectas que se cortan dos a dos. Los puntos de intersección son los vértices y los segmentos entre ellos los lados.

Nomenclatura.

Como en todos los polígonos, sus vértices se designan con letras mayúsculas en sentido contrario al de las agujas del reloj. A los lados se les nombra con la misma letra en minúscula del vértice opuesto.

Clasificación de triángulos.

Tipos de triángulos según los lados.

Basándonos en la medida relativa de los lados de un triángulo podemos hacer la siguiente clasificación de triángulos según los lados:

·         Equiláteros: son triángulos que tienen todos sus lados iguales.

·         Isósceles: son triángulos que tienen dos de sus lados iguales.

·         Escalenos: son triángulos que tienen todos sus lados desiguales.

Tipos de triángulos según sus ángulos.

Según la amplitud de sus ángulos, podemos clasificar los triángulos de la siguiente manera:

·         Rectángulos: son triángulos que tienen un ángulo recto (90º). El lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa y los otros dos son los catetos. La hipotenusa siempre es mayor que cualquiera de sus catetos. En un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos son complementarios, suman 90º.

·         Acutángulos: son triángulos que tienen los tres ángulos agudos (miden menos de 90º).

·         Obtusángulos: son triángulos que tienen un ángulo obtuso (mayor de 90º).

Una vez conocemos los nombres de los triángulos según su tipología es el momento de conocer algunos puntos y rectas notables de un triángulo.

Tomado de: https://www.profesordedibujo.com/geometria-plana/triangulos/tipos-de-triangulos-y-elementos-notables/

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS.

1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que

    su diferencia.

a^2 = b^2 + c^2

a^2 = b^2 - c^2

2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

A + B + C =180º

El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

α = A + B
α = 180º - C

4. En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.

5. Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.

En particular, las medidas de los lados de un triángulo rectángulo se relacionan mediante el Teorema de Pitágoras.

Pero antes veamos un vídeo:

Vídeo del Teorema de Pitágoras:

Ejercicios teorema de Pitágoras:

Problemas aplicando teorema:

TEOREMA DE PITÁGORAS

El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos saber el valor del tercero.

También nos sirve para comprobar, conocidos los tres lados de un triángulo, si un triángulo es rectángulo, ya que si lo es sus lados deben cumplirlo.

Como ya sabréis, un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres ángulos mide 90 grados, es decir, es un ángulo recto. Está claro que si uno de los ángulos es recto, ninguno de los otros dos puede serlo, pues deben sumar entre los tres 180 grados.

En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros. Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90 grados se le llama hipotenusa, y a los otros dos lados catetos.

Pues bien, el Teorema de Pitágoras dice que: «En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos«.

Tomado de: https://matematicascercanas.com/2019/02/16/teorema-de-pitagoras/

Ahora veamos otra forma de usar el teorema:

Teorema: dado un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa h (el lado opuesto al ángulo recto). Entonces,

EJEMPLOS

1.    Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 3cm y 4cm.

Solución:

Los lados son

A = 3cm , b = 4cm    

Aplicando el teorema de Pitágoras,

3.  Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos lados miden   raíz de dos y raíz de tres

SOLUCIÓN:

Para poder calcular la altura del triángulo, a, tenemos que dividirlo en dos triángulos rectángulos (para poder aplicar el teorema de Pitágoras).

Los dos triángulos son los siguientes:

EJERCICIOS DE CLASE.

Determine el valor faltante. Grafique y resuelva con el procedimiento.

1.   a = 4,      b = 6

2.   a = 10     h = 15

3.   b = 6       h = 10

4.   h = 5       b = 2

5.  Determine la altura (h) del triángulo:

ACTIVIDAD DE PRÁCTICA.

1. Explica cómo se clasifican los triángulos, según:

a.    Sus lados

b.    Sus ángulos

2. Escribe y estudia las propiedades de los triángulos

3. Dibuja los diferentes tipos de triángulos

4. Explica cuál es la característica especial de un triángulo rectángulo

5. Resuelve los siguientes ejercicios:

a.    Determine el valor de la hipotenusa, si sus catetos miden 3 cm y 7 cm

b.    Determine el valor del cateto a si su hipotenusa mide 18 cm y el cateto b mide 10 cm

c.    Determine el valor del cateto b, si la hipotenusa mide 12 cm y su cateto a mide 5 cm

d.    Halle la altura de un triángulo isósceles si se sabe que su base mide 12 cm y sus lados iguales 10 cm

6. Resuelva los problemas planteados.

a.    Un poste de hierro anclado verticalmente en el suelo, proyecta una sombra de 60 cm. Hallar la altura del poste, si la distancia entre su punta y el extremo de su sombra es de 100 cm

b.    Una escalera se encuentra apoyada verticalmente en una pared. La distancia de la pared a la base de la escalera es de 50 cm y la longitud desde el suelo hasta el punto de apoyo de la escalera con la pared es de 200 cm. Calcule el largo de la escalera.

c.    La Torre de Pisa tiene una altura aproximada de 56 m. La torre se separa de la vertical una distancia de 4 m. Halle la longitud de la vertical desde la cima de la torre hasta el suelo.

d.    Formule y resuelva un problema aplicando el Teorema de Pitágoras.

Nota. Resuelva y presente el taller en forma física, en hojas de block o cuaderno y entregue en el colegio sede C el día viernes 8 de mayo.

También puede resolver en Word y enviar al correo mihijoevans14@gmail.com

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FECHA: Martes 21 de marzo del 2020

TIEMPO: 5 horas

TEMA: FUNCIONES. PROPIEDADES

Subtema: funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.

COMPETENCIAS: 

1. Identifica en una función dada su dominio y rango

2. Identifica y diferencia funciones según sean inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.

3. Construye funciones con conjuntos de su entorno y las clasifica en inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.

Repaso de lo visto en clase anterior. 

10,1.  Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas en diagrama sagital y el plano cartesiano. 

10,2. Dominio y rango de funciones. Presentación en diagrama sagital.

Actividad de clase. repasar conceptos vistos y resolver actividades sobre funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Funciones crecientes y decrecientes.

CONCEPTUALIZACIÓN

DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN DEFINICIÓN  : 

Una función es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x de un conjunto , D llamado dominio, exactamente un elemento y en otro conjunto E . El elemento y de E es el valor de la función para x . A este elemento y se le llama la imagen de x bajo la función. Al conjunto de las imágenes se le llama el campo de valores (CV) de la función. El campo de valores es un subconjunto del conjunto E . Otros nombres para el campo de valores son: alcance, codominio o recorrido. Utilizamos variables para representar las funciones. Estas variables pueden ser mayúsculas o minúsculas. Una de las variables más usadas es la f . EJEMPLOS DE CORRESPONDENCIAS QUE SON FUNCIONES : 

Usaremos la siguiente notación: 

Df = dominio de la función f : Dominio

CVf = campo de valores de la función f : Rando

FUNCIONES INYECTIVA, SOBREYECTIVA Y BIYECTIVA

Función inyectiva

La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen Y. Reciben también el nombre de funciones “uno a uno”.

No siempre todos los elementos del conjunto final Y deben corresponderse con alguno del conjunto inicial X.

La función f(x) = 2x+1 , con los elementos de su dominio restringidos a los números reales positivos, es inyectiva.

Una función sobreyectiva (o suprayectiva) f es una función tal que todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.

Función biyectiva

Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y (condición de función inyectiva).

Digamos que no puede quedarse ningún elemento en el conjunto final Y solo, sin asociarse con un único elemento del conjunto inicial X.

GRÁFICAS

DEFINICIÓN: La gráfica de una relación es el conjunto de todos los pares ordenados que pertenecen a la relación. Dada la gráfica de una relación, podemos determinar si ésta representa una función,usando la prueba de la recta vertical. Veamos en qué consiste esta prueba. PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL Esta prueba es una forma geométrica que consiste en trazar rectas verticales que intersequen la gráfica. La gráfica representa una función si todas las rectas verticales que intersequen la gráfica, la intersecan en un solo punto. Si al menos una recta vertical interseca la gráfica en más de un punto, entonces estos puntos de intersección repiten el primer elemento del par ordenado en pares ordenados distintos. Por lo tanto, las gráficas donde esto ocurre no representan funciones. 

Tomado de. rsoformulas.com/matematicas/analisis/funciones-inyectivas-sobreyectivas-biyectivas/

Ahora veamos el siguiente vídeo que sirven de repaso y aclaración de dudas sobre el tema. Posteriormente resolver la actividad propuesta:

ACTIVIDAD DE PRÁCTICA.

1. Haz un ejemplo de cada una de las funciones: inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

2. Determina el dominio y el rango en cada una de ellas

3. Dadas las siguientes funciones: 

    a = {(5,2),(1,3),(5,4) }  

    b = {(3,6),(4,9),(5,12),(6,18)}

1). Represéntalas en diagrama sagital

2). Represéntalas en el plano cartesiano

3). Clasifícalas, según lo visto en los vídeos

4). Determina en cada una el dominio y el rango.

Resuelve la actividad anterior en hojas y envíala el 8 de mayo al colegio.

Fin de la clase.

Feliz día para todos.

Sábado 22 de febrero del 2020

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PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

Sábado 15 de febrero del 2020

La siguiente es una consulta que debes ir adelantando para presentarla el día viernes 28   de febrero.

1. ¿Qué es la trigonometría y cómo surgió?

2. ¿Porqué es importante y necesaria la trigonometría?

3. ¿Qué es un ángulo y cuales son los sistemas más usados para medirlos?

4. Consulte cuáles son los sitemas de conversión de ángulos. De dos ejemplos por cada          uno.

5. ¿Qué es la velocidad angular y la velocidad lineal?. Escriba sus respectivas fórmulas.

NOTA: 

a. Presente en trabajo escrito con hoja en blanco al principio y al final

b. Portada, según las indicaciones dadas

c. Introducción

d. Conclusión

e. Bibliografía o cibergrafía

Siga además las siguientes indicaciones:

a. Realice el trabajo en word letra arial número 12 y espaciado a 2

b. Aplique el nomenclador decimal en el desarrollo del trabajo

c. Terminado el trabajo en word, conviértalo a PDF

d. Envíe el trabajo en pdf al correo mihijoevans14@gmail.com, escriba en el asunto del envío: su primer apellidoy nombre pegado, grado. seguido de la palabra consulta. Ejemplo. everchalarca10,1. Consulta.

Plazo máximo de envío: viernes 28 de febrero.

Sábado 15 de febrero del 2020

RETO MATEMÁTICO

20 trabajadores de CEMEX pavimentan 4 km de la carretera a La susana en 30 días. ?¿Cuántos días necesitaran 10 trabajadores para pavimentar 2 km de la carretera?


DOMINGO 9 DE FEBRERO.

RETO MATEMÁTICO

  Un grupo de amigos se reunió en una pastelería a comer una cantidad

 desconocida de galletas. Si cada persona se come 5 galletas, quedan sobrando

 4, mientras que si cada persona quisiera comerse 6 galletas, esto no sería

 posible, pues quedarían faltando 7 galletas. El número total de galletas es:

A.     11

B.     23

C.     59

D.    63

Muestra tu procedimiento.

DOMINGO 2 DE FEBRERO DEL 2020.

RETO MATEMÁTICO

Realiza este sencillo reto matemático. Preséntalo y susténtalo en la clase. No se te olvide hacer tu comentario en la publicación.

Valentina pintó la mitad de su casa en el día jueves y el viernes pintó los tres séptimos del resto.
a. ¿Qué fracción de la casa le falta por pintar?
b. Si la superficie de las paredes de la casa es de 280 metros cuadrados, indique cuántos metros cuadrados le quedan por pintar.

RETO MATEMÁTICO

Resuelve este sencillo reto matemático, preséntalo y susténtalo en clase. No se te olvide dejar tu registro y comentario en el blog.

Se tiene un tanque en forma de cono recto invertido de 3 metros de altura y de 2 metros de diámetro en la parte superior. Si el tanque está parcialmente lleno de agua, con 1,8 metros desde el vértice hasta la superficie, calcule el radio de la superficie de agua.

Tomado de: 100 problemas que todo bachiller debe entender y resolver. Red Matemática Antioquia. 2015

Nota: La respuesta es: radio de la superficie de agua = 0,6 m.

Lunes 27 de enero del 2020.

RETO MATEMÁTICO

Realiza este sencillo reto matemático. Preséntalo y susténtalo en la clase. No se te olvide hacer tu comentario en la publicación.

Pedrito realiza la división de 5/7, pero no es exacta. Continuó resolviendo la operación hasta llegar a la cifra 2.200 después de la coma decimal. ¿Cuál es la última cifra que encontró Pedrito?

INSTITUCIÓN EDUCATIVA FILIBERTO RESTREPO SIERRA

MACEO – ANTIOQUIA

ACTIVIDADS ESPECIALES DE RECUPERACIÓN –A.E.R-

     ÁREA: MATEMÁTICAS.  

 HABILITACIÓN.

GRADO 9, 1,2

INDICACIONES:

-       Resuelva el taller en hojas de block blancas tamaño carta con portada y hojas en blanco al principio y al final

-       Preséntese con el taller resuelto el día lunes 25 de noviembre a las 9:00 am en el colegio

-       Lleve hojas en blanco para sustentar el taller, lápiz, borrador, sacapunta, curvígrafo y calculadora si la necesita. No se permitirá e préstamo entre sí de útiles de estudio.

-       El taller tendrá un valor del 30% y la sustentación del 70%

-       El taller es un mecanismo de repaso a los temas vistos. Sirve de referente para los temas que se van evaluar. Ojo, no quiere decir que esos sean los puntos de la sustentación

1. Halle el discriminante de la ecuación 

2. Resuelva la ecuación cuadrática: 2x² + 3x  = 0 por el método de fórmula 

    general.

3. Resuelva la ecuación cuadrática:  por fórmula general.

4.  Resuelva la ecuación cuadrática: , por el método de factorización

5. Tabule y grafique la función f(x) = 3x² - 2

6.  Dada la función  f(x) = - 2x² + 1, determine.

a.    Gráfica

b.    Dominio

c.    Rango

d.    Vértice

e.    Puntos de corte en x

f.     Puntos de corte en y

g.    Eje de simetría

h.    Punto máximo o mínimo

7. Dados los puntos P₁(3,2);  P₂(-1, -4), trace su gráfica en el plano

8. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones 2x2, según el método indicado. 

 

a.        7x + 4y = 13     (1);        

           5x – 2y = 19      (2)     por igualación

  

b.       5x + 3y = 5   (1)

          4x + 7y =27   (2)     por reducción

c.       6x – 3y = - 4     (1)  

          - 6x + 2y = 3      (2)    por determinates

d.      x – 5y = 8        (1)

       - 7x + 8y = 25    (2)     por reducción y determinantes

9.  Dados los puntos: P₁(7, - 2);  P₂(4, 6), determine.

a.    Pendiente

b.    Distancia

c.    Ecuación

d.    Gráfica

10.   Sea la tabla de datos:

Halle.

a.    Media aritmética

b.    Mediana

c.    moda

Lic. Éver Chalarca Bedoya

CONSULTA

1. ¿Qué es una ecuación.?

2. ¿En qué consiste un sistema de ecuaciones 2x2?

3. ¿Qué métodos se conocen para resolver un sistema de ecuaciones 2x2?

4. Escribe un ejemplo de una ecuación, resuelta por:

    A. Método de sustitución. Números del 1 al 5 de la lista.

    B. Método de Igualación. Números del 6 al 10 de la lista.

    C. Método de reducción. (eliminación o también de suma y resta. Resuelven del 11 al            15 de la lista.

    D. Método de determinantes. Resuelven del 16 al 20 de la lista.

    E. Método gráfico. Resuelven del 21 en adelante de la lista.

ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

FUNCIÓN CUADRÁTICA

TALLER DE REPASO – GRADO 9, 1,2

1.                      1. Al resolver el producto notable  (14x – 7)(14x + 7), se obtiene como respuesta:

A.    16x² – 56x + 49                 

B.    8x² – 14                   

C.    196x² – 49                  

D.    16x² – 4

 2. Al resolver la inecuación   – 12x + 15 ≥ - 13 – 2x, el valor de la x es:

                 A.  x ≥ 5

                 B.   x ≤ 1/5

                 C.  x ≥ 1/5

                 D.  x ≤  - 1/5

       3. Dado el conjunto por comprensión:  A= , su representación por intervalo es:

                    A.    ] - ∞, 1]  ∩  [5, ∞[

                    B.    ] - ∞, 1]  ᴜ  [5, ∞[ 

                    C.    ] - ∞, 1[  ∩  [- 5, ∞[

                    D.    ] - ∞, 1[  ᴜ  [- 5, ∞]

          4.  Cuando el discriminante

          Δ = b²  -  4ac ≥  0, entonces la ecuación cuadrática tiene:

A.    Dos raíces en los Reales

B.    Dos raíces en los complejos

C.    No tiene solución en ningún sistema

D.    Una sola raíz en los complejos.

          5. El discriminante de la ecuación, es:

A.    – 1

B.    15

C.    1

D.    2

          6.  Resuelva la ecuación cuadrática: 2x² + 3x – 4 = 0 por cualquiera de los métodos                    vistos         

         8.  Tabule y grafique la función f(x) = 2x² + x – 3

   9.  De la gráfica c determine: Puntos de corte en x e y, dominio y rango, vértice, si es 

        positiva o negativa, si corresponde a una función completa o incompleta.

Lic. Éver Chalarca Bedoya