Amigos de las Matemáticas: MATEMÁTICAS Clei 5 y 6

MATEMÁTICAS Clei 5 y 6

CLEI 5 NOCTURNO. CLASE CORRESPONDIENTE A LA GUÍA # 4.

FECHA: Martes 30 de junio de 2020

TEMA: Funciones trigonométricas de la circunferencia unitaria y el triángulo rectángulo

REFERENTE (Estándar, propósito o DBA):

·       Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones
    trigonométricas.
·         Determina las razones trigonométricas a partir de la circunferencia unitaria y el triángulo rectángulo
·         Resuelve problemas de aplicación con las funciones trigonométricas
·         Plantea y resuelve problemas con las funciones trigonométricas
En la guía anterior se te dejó consulta sobre la circunferencia unitaria y las razones trigonométricas a partir de ésta. Iniciaremos este tema retomando las razones trigonométricas a partir de la circunferencia unitaria.
La circunferencia unitaria: es el conjunto de puntos del plano que están a la misma distancia (llamada radio) de un punto fijo (llamado centro) y tiene la particularidad que su centro está en el origen de coordenadas (0,0) y su radio es una unidad (r=1).Es aquella cuyo centro está en el origen y su radio es igual 1.

Ejemplos

Puntos en la circunferencia unitaria. Recuperado junio 25 de 2020 en

El signo de las funciones trigonométricas depende del cuadrante en el que se ubique el punto que

determine el ángulo θ.

Veamos en el vídeo las funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria.

Razones trigonométricas.

Mira el vídeo de los signos de las funciones trigonométricas.

Sigue el siguiente vídeo para ampliar los conocimientos sobre el triángulo rectángulo.

Se despeja la incógnita y se redacta la respuesta
Veamos en los siguientes vídeo cómo resolver problemas aplicando funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo.
Vídeo 1

Vídeo 2

Vídeo 3

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Fecha: Lunes 8 de junio de 2020

Profesor: Éver Chalarca Bedoya

FECHA DE ENTREGA: VIERNES 23 DE JUNIO DE 2020

TEMA(S):

1. Función circular y sus aplicaciones

2. Razones trigonométricas en la circunferencia unitaria.

REFERENTE (Estándar, propósito o DBA):

1. Resuelve problemas de aplicación sobre ángulos, longitud de un arco, área de un sector

circular y de un círculo.

2. Identifica las razones trigonométricas a partir de la circunferencia unitaria.

En clase anterior se habló acerca de los ángulos, del concepto de radian y sistemas de conversión de ángulos. Así mismo, sobre la forma de medir y dibujar ángulos.

En la presente guía daremos continuidad, pero ahora hablaremos de:

1. Aplicaciones de la función circular: longitud de un arco y movimiento circular

2. Razones trigonométricas en la circunferencia unitaria.

TEMA: FUNCIÓN CIRCULAR. APLICACIONES.

A través de estos links podrás ampliar los conceptos de velocidad lineal y velocidad angular.

Longitud de arco y sector circular:

Se construye a partir de una circunferencia de centro C(0,0) y de radio = 1

Veamos vídeos ilustrativos y complementarios.

Velocidad lineal y angular:

Velocidad angular:

Ejemplo 2:

Determinar la longitud del arco que describe el Santuario de las Lajas, ubicado en

Ipiales-Nariño, debido al movimiento de rotación de la Tierra, pasadas 8 de las 24

horas del día.

Solución.

Se tiene que tener en cuenta que el radio de la Tierra es de 6.371 km. Cómo se pide la

longitud de arco, se debe inicialmente determinar el ángulo en radianes que describe

el Santuario desde su posición inicial hasta su posición final transcurridas las 8

horas. En ese lapso la tierra realiza 8/24 de vuelta, es decir, 1/3 de vuelta.

Datos: radio de la Tierra = 6.371 km = r

Movimiento circular

Veamos este vídeo de movimiento circular.

Existen varias situaciones en las que se puede observar varios movimientos circulares, como por ejemplo el desplazamiento de una rueda, en la trayectoria que describen los engranajes de algunas máquinas o en la rueda de un parque de diversiones. En general el movimiento circular se puede interpretar como el desplazamiento de un punto R a lo largo de una circunferencia C en un tiempo t

En un movimiento circular hay dos tipos de velocidades: la velocidad angular y la velocidad lineal.

Velocidad angular

Si un objeto que gira con rapidez constante, parte de un punto R₁ en un tiempo t = 0, hasta un punto R₂ en un tiempo t, entonces describe un ángulo . Luego la velocidad angular (ω) del objeto, está dada por la expresión ω = /t, donde se mide en radianes.

El número de vueltas que realiza el objeto en una determinada unidad de tiempo se denomina frecuencia. Así, el ángulo se determina por el número de vueltas y el tiempo se mide en minutos, la frecuencia se mide en revoluciones por minuto (rpm)

Velocidad lineal

La velocidad lineal (v) de un punto sobre una circunferencia se define de dos maneras: como el producto entre la velocidad angular ω y el radio r de la circunferencia, o como el cociente entre la longitud de arco s y el período de tiempo t que tarda el movimiento.

Por tanto se cumplen las siguientes igualdades :

V = ωr y v = s/t

Ejemplo velocidad angular:

1. En un parque de diversiones, una rueda mecánica gira con una frecuencia de 12 rpm. ¿Cuál es la velocidad angular que experimenta cada persona en esta rueda?

Datos.

Revoluciones por minuto (rpm) = 12 vueltas.

1 vuelta o revolución = 2 rad

Para obtener el ángulo de rotación se multiplica el número de revoluciones por 2 rad

= 12 X 2 rad = 24 rad

Ahora, para hallar la velocidad angular Por último se divide el ángulo de rotación entre el tiempo t = 1 min, para hallar la velocidad angular (ω)

Ejemplo velocidad lineal:

2. Una estación espacial órbita circularmente a un promedio de 5.420 km de altura sobre la superficie terrestre y tarda 8 horas en dar una vuelta completa a la Tierra. ¿Cuál es su velocidad lineal?

Datos a tener en cuenta:

Radio de la Tierra = 6.371 km

Altura de la estación espacial = 5.420 km

Radio total = r = 5.420 km + 6.371 km = 11.791 km

Luego calculamos la velocidad angular.

Por último se calcula la velocidad lineal de la estación espacial.

V = ωr

V = ( π/4 rad/h)(11.791 km)

V = 9.260 km/h

Ahora continuaremos con el tema de razones trigonométricas en la circunferencia

unitaria.

TALLER

(Resuelva el taller en físico y entrégalo por intermedio de tu acudiente o una persona mayor en la secretaría del colegio).

El taller debe estar organizado y bien presentado.

PUNTOS A DESARROLLAR:

1. Mida un ángulo de:

a. 520° (Indique la dirección del ángulo)

b. – ¾ π

c. 11/2 revoluciones

d. -300°

2. Calcule la velocidad angular de un objeto con movimiento circular que genera un ángulo de 7/4 π en una hora y media.

3. Halle la velocidad lineal de un cuerpo que recorre una circunferencia de 3 m de

radio a razón de 5 vueltas por segundo.

4. Calcule la longitud de arco de una circunferencia de 70 cm de radio, subtendido

por un ángulo de 270°.

5. Completa el siguiente cuadro y dibuja el ángulo en posición normal

6. Encuentra la longitud de un arco que subtiende un ángulo central de 65° en un

círculo de radio 15 cm.

7. Las ruedas de un automóvil miden 28 pulgadas de diámetro. ¿Qué tan lejos

viajará el automóvil (en kilómetros) si sus ruedas giran 10.000 veces sin

deslizamiento?

8. Las ruedas de una motocicleta tienen un diámetro de 70 cm y giran 800 rpm.

Determine la velocidad de la motocicleta en kilómetros.

9. Si un arco circular de longitud s subtiende el ángulo central θ en un círculo, halle el radio del círculo

de acuerdo con los siguientes datos

a. S = 15 cm; θ = 15°

b. S = 10 m; θ = ¾ π

10. Halle la velocidad lineal de un cuerpo que recorre una circunferencia de 8 m de radio a

razón de 10 vueltas por segundo

NOTA: RECUERDEN QUE LA FECHA DE ENTREGA DE ESTA GUÍA O TALLER ES EL DÍA VIERNES 23

DE JUNIO DE 2020

CIBERGRAFÍA:

Tomado del canal de YouTube.

- Velocidad lineal y angular: https://youtu.be/XoLF1VNJwxQ

- Velocidad angular: https://youtu.be/GXIQ1qnoNUs

- Movimiento circular: https://youtu.be/u8j2J7sxyys

- Longitud de arco y sector circular: https://youtu.be/VJ2C0Zzw53o

BIBLIOGRAFÍA

- Los caminos del saber. Matemáticas 10. Buitrago García Lida et al. Ed. Santillana, Bogotá. 2013.

- Guía de matemáticas: conceptos básicos de trigonometría. Cardeño Espinosa, Jorge. CEID ADIDA. Medellín.

___________________________________________________________________________________

FECHA: Lunes 11 de mayo de 2020

PROFESOR: Éver Chalarca Bedoya

ÁREA: Matemáticas. GRADO: CLEI 5 NOCTURNO.

TEMA: Funciones trigonométricas. Sistemas de conversión.

TIEMPO PROBABLE: 5 horas.

COMPETENCIAS:

1. Construir y clasificar los diferentes tipos de ángulos, expresando su medida en grados o en radianes.

2. Resolver problemas de aplicación sobre ángulos, longitud de un arco, área de un sector circular y de un círculo.

3. Dibujar la circunferencia unitaria, el ángulo o arco correspondiente y determinar el punto trigonométrico asociado a éste.

4. Convierte ángulos dados en grados a radianes y viceversa.

En esta clase veremos el Sistemas de conversión y cómo es costumbre las dos últimas semanas son dedicadas a refuerzo y recuperación, siendo consecuentes, la presente actividad es un repaso o refuerzo de los temas vistos durante el período. Aquí encontrarás algunos tips de recorderis que te ayudarán a recordar lo visto.

Además vídeos links de enlace para ver vídeos explicativos del tema.

Además del refuerzo de los contenidos, es una estrategia de recuperación para los estudiantes que en su momento no lograron los objetivos durante el período.

Es importante que sepas que en el cuaderno debes de registrar lo siguiente:

ACTIVIDADES DE REFUERZO Y RECUPERACIÓN DEL PERÍODO.

COMPETENCIAS: ...

1. Tu autoevaluación del período

Recordemos que los triángulos se clasifican según sus lados y según sus ángulos.

Según sus ángulos se clasifican:

a. Triángulos acutángulo si todos sus ángulos miden menos de 90°

b. Triángulos rectángulos cuando uno de sus ángulos mide 90°

c. Triángulos obtusángulos u oblicuángulos cuando uno de sus ángulos mide más de 90°.

En la clase anterior se habló del triángulo rectángulo y del teorema de Pitágoras como introducción a la trigonometría.

Continuaremos ahora hablando más propiamente de los ángulos y su clasificación.

ÁNGULO:

Un ángulo se forma por la rotación de una semirrecta alrededor de su origen. La posición inicial de la semirrecta se llama Lado Inicial (𝐴 ) del ángulo y la posición final de la semirrecta se llama Lado Final (𝐴𝐶 ). El punto de rotación es el Vértice (𝐴) del ángulo. Se puede leer ∢ 𝐵𝐴𝐶 o ∢ 𝐶𝐴𝐵.

Es importante que sepas que los ángulos en trigonometría se nombran con las letras del alfabeto griego.

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA

Recordar que la medida del ángulo beta por ejemplo se representa como:

𝑚∡𝐴𝐵𝐶 = 𝑚∡𝛽 = ∡𝛽 = 𝛽

Tomado de: Guía de matemáticas. Conceptos básicos de trigonometría. Autor: Jorge Cardeño Espinosa.

Al hablar de medición de ángulos, tenemos que decir que éstos se miden en:

a. Radianes (Sistema cíclico)

b. Grados sexagesimales (sistema sexagesimal

c. Revoluciones o vueltas.

RADIAN

Un radian es la medida de un ángulo central que intercepta un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

Al sistema de medición de ángulos en radianes se le conoce como sistema cíclico.

En toda circunferencia hay aproximadamente 2 radianes, es decir, 6.28 radianes. ¿Por qué?

𝐿𝑐 = Longitud de la circunferencia

𝑟 = Radio

𝐷 = Diámetro

𝐷 = 2𝑟

𝐿𝑐/D = constante = = 3,1416 aprox.

𝐷 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝜋 = 3,1416 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒.

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA

La longitud de la circunferencia entonces es dos veces el radio por pi

𝐿𝑐/D = 𝜋 ∴ Lc = D . r

Lc = 2r . 𝜋

Como ya se dijo, otra forma de medir ángulos es en grados sexagesimales, o simplemente grados (sistema sexagesimal); otra forma es de revoluciones o vueltas, poco usada en la actualidad.

Veamos las equivalencias de medidas de ángulos en los tres sistemas mencionados:

1 vuelta = 360° = 2 𝜋 rad

½ vuelta = 180° = 𝜋 rad

¼ vuelta = 90° = ½ 𝜋 rad

1/8 vuelta = 45° = ¼ 𝜋 rad

Veamos los siguientes vídeos de apoyo a lo explicado:

CONVERSIÓN DE ÁNGULOS DE UN SISTEMA A OTRO

Para convertir de un sistema de medición a otro se puede trabajar con la regla de tres simple, así:

A. Para convertir de grados a radianes:

Convertir 180° a radianes:

1. 180° _______ 𝜋 rad

90° ________ x

X = 90° . 𝜋 rad/180° se cancela grados y se divide 90 𝜋 rad entre 180

X = ½ 𝜋 rad

2. Convertir 60° a radianes:

180° _______ 𝜋 rad

60° ________ x

X = 60° . 𝜋 rad/180° se cancela grados y se divide 60 𝜋 rad entre 180

X = 1/3 𝜋 rad

A. Para convertir de radianes a grados:

1. Convertir 1/3 𝜋 rad a grados:

𝜋 rad _________ 180°

1/3 𝜋 rad _______ X

X = 1/3 𝜋 rad . 180°/ 𝜋 rad se cancelan 1/3 𝜋 rad y se multiplica 1/3 por 180°

X = 60°

Ahora veamos el vídeo para que repases cómo hacer conversiones de ángulos de un sistema a otro.

PUNTO TRIGONOMÉTRICO: Es cualquier punto que pertenece a la circunferencia x^{2 +}y² = 1

ÁNGULO DE REFERENCIA: En todo ángulo θ en posición normal, el ángulo de referencia de θ, que se denota θ_R, es el ángulo positivo, menor de 90° , formado por el lado final de θ y el eje x.

Veamos cuál es el ángulo de referencia, según el cuadrante donde se ubique el ángulo.

Veamos ahora el siguiente vídeo:

ACTIVIDAD DE CLASE.

1. Define los conceptos de:

a. Radián

b. Ángulo

c. Ángulo de referencia

2. Expresar en radianes:

a. 200 °

b. 100°

c. 30°

d. 270°

a. 300°

3. Expresar en grados:

a. 3 𝜋 radianes

b. 𝜋 rad/8

c. 𝜋 rad/ 3

d. 2 𝜋 rad /3

e. 𝜋 rad / 4

4. Utiliza compás o graduador para construir ángulos de:

a. 70°

b. 135°

c. 400°

d. 2 𝜋 rad/5

e. 𝜋 rad/ 5

ACTIVIDADES DE RECUPERACIÓN

Esta segunda parte del documento son actividades de recuperación sólo para aquellos estudiantes que no alcanzaron los logros correspondientes.

TEMA. Actividades de refuerzo y recuperación período 1.

TIEMPO PROBABLE: 3 horas.

COMPETENCIAS:

1. Identifica las propiedades de los números reales

2. Resuelve operaciones y problemas propuestos en los números reales.

3. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a. 2x + 25 – x = 8x + 10

b. 5x – 20 x = 30

c. 12x = - 30 + 10x – 8

d. 2x^2 - 4x+10 = 0

e. x^2-2x-2= 0

4. Calcular los 3/8 de 32000

5. Las 3/5 partes de los empleados de una empresa que tiene 60 empleados están entre los 20 y 25 años. ¿Cuántos empleados tienen otras edades?

4. Tabule y grafique las siguientes funciones:

a. f(x) = 2x – 3

b. f(x) = - 3x + 2

c. f(x) = 2x² + 1

d. f(x) = - x² + 2

e. f(x) = x³ + 1

f. f(x) = e^x

5. Resuelva las potencias aplicando las propiedades:

a. 2² + 2² + 2² + 2² =

b. 3² x 3² x 3² x 3² =

c. ( 7 x 4 )² =

d. ( 2² x 3² )³ =

6. Resuelva las raíces:

a. ∛64 =

b. √(∛(√(a^24 )) ) =

c. ∛(64 x 8) =

7. Factorice:

a. x² – 12x + 36

b. 100x² – 49n²

c. x² + 29x + 100

d. 35m³ + 15m² – 10m

e. 3m(2n – 1) + n(2n – 1)

8. Elimine los signos de agrupación y resuelve.

a. {25-12+ [35-18- (54+15)-23]+18}

b. - {25+ 12- [35-18+ (54+15)-23]}

c. { [35-18- (54- 15)-23]+10}

9. Explica qué son funciones: inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Realice dos

ejemplos en diagrama sagital de cada una de ellas.

_____________________________________________________________________

Jueves 30 de abril de 2020

Buenas tardes mis apreciados jóvenes, espero que todo marcha bien en sus vidas y quehaceres diarios.

Les informo que hoy se están cumpliendo las 10 semanas del primer período. Sin embargo vamos a postergar por dos semanas más para poder dar tiempo de realizar las actividades de finalización y de refuerzo a los estudiantes que tienen deudas de notas pendientes.

A partir de la próxima semana póngase en contacto con los profes para que finiquiten las actividades de finalización.

Los aprecio y extraño mucho, cuídense bastante y no se expongan. Recuerden el distanciamiento social y las medidas preventivas.

Su amigo: E. Chalarca.

Observación IMPORTANTE: Tiene 5,0 el primero que comente la publicación anterior.

ACTIVIDADES DE MATEMÁTICAS. # 2. CLEI 5 NOCTURNO

FECHA: Martes 28 de abril del 2020

ÁREA: MATEMÁTICAS. PROFESOR: Éver Chalarca Bedoya

TEMA: Ángulos y triángulos

El triángulo rectángulo y Pitágoras.

TIEMPO PROBABLE: 4 horas.

COMPETENCIAS:

1. Identifica los distintos tipos de triángulos y aplica sus propiedades

2. Reconoce el Teorema de Pitágoras y sus aplicaciones

3. Formula y resuelve problemas aplicando el Teorema de Pitágoras.

En esta clase nos adentraremos un poco hacia la trigonometría y empezaremos haciendo un repaso de los triángulos, pero antes se verán algunos vídeos.

Después de ver los vídeos repasemos un poco.

Propiedades de los triángulos:

Clasificación de los triángulos:

DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS.

¿Qué es un triángulo?

Un triángulo es un polígono de tres lados, y por lo tanto tres vértices. También pueden definirse como figuras planas delimitadas por tres rectas que se cortan dos a dos. Los puntos de intersección son los vértices y los segmentos entre ellos los lados.

Nomenclatura.

Como en todos los polígonos, sus vértices se designan con letras mayúsculas en sentido contrario al de las agujas del reloj. A los lados se les nombra con la misma letra en minúscula del vértice opuesto.

Clasificación de triángulos.

Tipos de triángulos según los lados.

Basándonos en la medida relativa de los lados de un triángulo podemos hacer la siguiente clasificación de triángulos según los lados:

· Equiláteros: son triángulos que tienen todos sus lados iguales.

· Isósceles: son triángulos que tienen dos de sus lados iguales.

· Escalenos: son triángulos que tienen todos sus lados desiguales.

Tipos de triángulos según sus ángulos.

Según la amplitud de sus ángulos, podemos clasificar los triángulos de la siguiente manera:

· Rectángulos: son triángulos que tienen un ángulo recto (90º). El lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa y los otros dos son los catetos. La hipotenusa siempre es mayor que cualquiera de sus catetos. En un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos son complementarios, suman 90º.

· Acutángulos: son triángulos que tienen los tres ángulos agudos (miden menos de 90º).
· Obtusángulos: son triángulos que tienen un ángulo obtuso (mayor de 90º).

Una vez conocemos los nombres de los triángulos según su tipología es el momento de conocer algunos puntos y rectas notables de un triángulo.

Tomado de: https://www.profesordedibujo.com/geometria-plana/triangulos/tipos-de-triangulos-y-elementos-notables/

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS.

1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que

su diferencia.

a^2 = b^2 + c^2

a^2 = b^2 - c^2

2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

A + B + C =180º

5. Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.

En particular, las medidas de los lados de un triángulo rectángulo se relacionan mediante el Teorema de Pitágoras.

Pero antes veamos un vídeo:

TEOREMA DE PITÁGORAS

El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos saber el valor del tercero.

También nos sirve para comprobar, conocidos los tres lados de un triángulo, si un triángulo es rectángulo, ya que si lo es sus lados deben cumplirlo.

Como ya sabréis, un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres ángulos mide 90 grados, es decir, es un ángulo recto. Está claro que si uno de los ángulos es recto, ninguno de los otros dos puede serlo, pues deben sumar entre los tres 180 grados.

En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros. Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90 grados se le llama hipotenusa, y a los otros dos lados catetos.

Pues bien, el Teorema de Pitágoras dice que: «En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos«.

Tomado de: https://matematicascercanas.com/2019/02/16/teorema-de-pitagoras/

Teorema: dado un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa h (el lado opuesto al ángulo recto). Entonces,

EJEMPLOS

1. Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 3cm y 4cm.

Solución:

Los lados son

A = 3cm , b = 4cm

Aplicando el teorema de Pitágoras,

3. Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos lados miden raíz de dos y raíz de tres

SOLUCIÓN:

Para poder calcular la altura del triángulo, a, tenemos que dividirlo en dos triángulos rectángulos (para poder aplicar el teorema de Pitágoras).

Los dos triángulos son los siguientes:

Determinar la altura de un triángulo rectángulo:

EJERCICIOS DE CLASE.

Determine el valor faltante. Grafique y resuelva con el procedimiento.

1. a = 4, b = 6

2. a = 10 h = 15

3. b = 6 h = 10

4. h = 5 b = 2

5. Determine la altura (h) del triángulo:

ACTIVIDAD DE PRÁCTICA.

1. Explica cómo se clasifican los triángulos, según:

a. Sus lados

b. Sus ángulos

2. Escribe y estudia las propiedades de los triángulos

3. Dibuja los diferentes tipos de triángulos

4. Explica cuál es la característica especial de un triángulo rectángulo

5. Resuelve los siguientes ejercicios:

a. Determine el valor de la hipotenusa, si sus catetos miden 3 cm y 7 cm

b. Determine el valor del cateto a si su hipotenusa mide 18 cm y el cateto b mide 10 cm

c. Determine el valor del cateto b, si la hipotenusa mide 12 cm y su cateto a mide 5 cm

d. Halle la altura de un triángulo isósceles si se sabe que su base mide 12 cm y sus lados iguales 10 cm

6. Resuelva los problemas planteados.

a. Un poste de hierro anclado verticalmente en el suelo, proyecta una sombra de 60 cm. Hallar la altura del poste, si la distancia entre su punta y el extremo de su sombra es de 100 cm

b. Una escalera se encuentra apoyada verticalmente en una pared. La distancia de la pared a la base de la escalera es de 50 cm y la longitud desde el suelo hasta el punto de apoyo de la escalera con la pared es de 200 cm. Calcule el largo de la escalera.

torre hasta el suelo.

d. Formule y resuelva un problema aplicando el Teorema de Pitágoras.

Nota. Resuelva y presente el taller en forma física, en hojas de block o cuaderno y entregue en el colegio sede C el día viernes 8 de mayo.

También puede resolver en Word y enviar al correo mihijoevans14@gmail.com

____________________________________________________________

ACTIVIDADES DE CLASE. MATEMÁTICAS CLEI 5 NOCTURNO

FECHA: Martes 21 de marzo del 2020

TIEMPO: 5 horas

TEMA: FUNCIONES. PROPIEDADES

Subtema: funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.

COMPETENCIAS:

1. Identifica en una función dada su dominio y rango

2. Identifica y diferencia funciones según sean inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.

3. Construye funciones con conjuntos de su entorno y las clasifica en inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.

Repaso de lo visto en clase anterior.

10,1. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas en diagrama sagital y el plano cartesiano.

10,2. Dominio y rango de funciones. Presentación en diagrama sagital.

Actividad de clase. repasar conceptos vistos y resolver actividades sobre funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Funciones crecientes y decrecientes.

CONCEPTUALIZACIÓN

DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN.

Una función es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x de un conjunto, D llamado dominio, exactamente un elemento y en otro conjunto E. El elemento y de E es el valor de la función para x. A este elemento y se le llama la imagen de x bajo la función. Al conjunto de las imágenes se le llama el campo de valores (CV) de la función. El campo de valores es un subconjunto del conjunto E. Otros nombres para el campo de valores son: alcance, codominio o recorrido. Utilizamos variables para representar las funciones. Estas variables pueden ser mayúsculas o minúsculas. Una de las variables más usadas es la f.

EJEMPLOS DE CORRESPONDENCIAS QUE SON FUNCIONES:

Usaremos la siguiente notación:

Df = dominio de la función f : Dominio

CVf = campo de valores de la función f : Rango

Veamos los vídeos:

Qué es una función?

Tipos de funciones.

Dominio y rango de na función

FUNCIONES INYECTIVA, SOBREYECTIVA Y BIYECTIVA

Función inyectiva

La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen Y. Reciben también el nombre de funciones “uno a uno”.

No siempre todos los elementos del conjunto final Y deben corresponderse con alguno del conjunto inicial X.

La función f(x) = 2x+1 , con los elementos de su dominio restringidos a los números reales positivos, es inyectiva.

Función sobreyectiva

Una función sobreyectiva (o suprayectiva) f es una función tal que todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.

Función biyectiva

Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y (condición de función inyectiva).

Digamos que no puede quedarse ningún elemento en el conjunto final Y solo, sin asociarse con un único elemento del conjunto inicial X.

GRÁFICAS

DEFINICIÓN: La gráfica de una relación es el conjunto de todos los pares ordenados que pertenecen a la relación. Dada la gráfica de una relación, podemos determinar si ésta representa una función, usando la prueba de la recta vertical. Veamos en qué consiste esta prueba. PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL Esta prueba es una forma geométrica que consiste en trazar rectas verticales que intersequen la gráfica. La gráfica representa una función si todas las rectas verticales que intersequen la gráfica, la intersecan en un solo punto. Si al menos una recta vertical interseca la gráfica en más de un punto, entonces estos puntos de intersección repiten el primer elemento del par ordenado en pares ordenados distintos. Por lo tanto, las gráficas donde esto ocurre no representan funciones.

Tomado de. rsoformulas.com/matematicas/analisis/funciones-inyectivas-sobreyectivas-biyectivas/

rango en cada una de ellas

3. Dadas las siguientes funciones:

a = {(5,2),(1,3),(5,4) }

b = {(3,6),(4,9),(5,12),(6,18)}

1). Represéntalas en diagrama sagital

2). Represéntalas en el plano cartesiano

3). Clasifícalas, según lo visto en los vídeos

4). Determina en cada una el dominio y el rango.

Resuelve la actividad anterior en hojas y envíala el 8 de mayo al colegio.

Fin de la clase.

Feliz día para todos.

____________________________________________________________________
Martes 17 de marzo del 2020

Clase para el clei 5 correspondiente al día martes 17 y miércoles 18 de marzo. ( 3 horas).

Repaso clase anterior.

Recordemos que en clase anterior se explicaron las funciones según sus características.

A continuación veamos los siguientes vídeos para reforzar la clase anterior:

Funciones pares e impares

Funciones crecientes, decrecientes y constantes

Funciones periódicas

Funciones valor absoluto

ACTIVIDAD DE CLASE.

Cada estudiante debe resolver dos ejemplos por cada uno de los vídeos vistos. Pueden tomar los mismos ejemplos de los vídeos y resolverlos en el cuaderno. Enviar las soluciones a través de la plataforma de Edmodo. Plazo: Domingo 22 de marzo del 2020 a las 11:59 pm

Sábado 22 de febrero del 2020

Más de funciones logarítmicas